各位老铁们，大家好，今天由我来为大家分享如何判断二次型正定，以及顺序主式子判断正定的相关问题知识，希望对大家有所帮助。如果可以帮助到大家，还望关注收藏下本站，您的支持是我们最大的动力，谢谢大家了哈，下面我们开始吧！
本文目录
一、海塞矩阵如何判断负定
1、海塞矩阵是一个对称矩阵，用于判断函数的二阶导数的性质。要判断海塞矩阵是否为负定，需要满足两个条件：
2、一是所有的特征值都小于零，二是海塞矩阵的主子式都小于零。特征值小于零表示函数在该点处是凹函数，主子式小于零表示函数在该点处的二阶导数是负的。如果这两个条件都满足，则可以判断海塞矩阵是负定的。
二、什么是二次型
二次型（quadraticform）：n个变量的二次多项式称为二次型，即在一个多项式中，未知数的个数为任意多个，但每一项的次数都为2的多项式。线性代数的重要内容之一，它起源于几何学中二次曲线方程和二次曲面方程化为标准形问题的研究。二次型理论与域的特征有关。
三、aii大于0是正定的必要条件
首先结论局限于实二次型A正定则A与单位矩阵合同即存在可逆矩阵C使得A=C^TEC=C^TC所以|A|=|C^TC|=|C|^2>0.即有正定矩阵的行列式大于0.当f(x1,...,xn)正定时,g(x1,...,xi)=f(x1,...,xi,0,...,0)也正定所以g的矩阵Aii正定.由上结论知|Aii|>0.
四、二次型的规范型系数先后顺序
1、这个顺序其实就是对角阵当中的特征值的顺序，而特征值的顺序与相似变换矩阵当中的特征向量的顺序相对应。
2、要注意一点，正交变换是找P使，P^TAP=B，其中B是对角阵，这里P里面的列向量为特征向量，顺序要与你的特征值一致。画红线上面的那个矩阵就是X=PY矩阵形式，最后得出的二次型，y前面的系数其实是前面二次型矩阵所对应的四个特征值-1，1，1，1。
3、对一个n行n列的非零矩阵A，如果存在一个矩阵B使AB=BA=E（E是单位矩阵），则A为非奇异矩阵（或称可逆矩阵），B为A的逆阵。
4、矩阵非奇异（可逆）当且仅当它的行列式不为零。
5、矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。
6、矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。
五、正定二次型的行列式的秩
同济版的定义为A的秩。书中还有一句话，二次型的标准型所含项数是确定的，等于二次型的秩。给你简单解释一下：1，因为（实）二次型的矩阵是实对称矩阵，所以二次型的矩阵总可以（相似）对角化。（书中没有证明）2，可对角化的矩阵的秩等于非零特征值的个数。（这个你可以证明）3，在线性变换X=PY时P矩阵要求可逆（也就是经过变化以后变量的个数不能减少），所以A和P^?对角阵P秩相同。注意1和3不一样，相似是左右乘一个可逆矩阵和他的逆。合同是乘左右乘一个可逆矩阵和他的转置。只不过正交阵转置和逆相同，不要混了。
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